Чему равна сумма внешних углов многоугольника

В геометрии сумма внешних углов многоугольника является важной характеристикой, которая имеет постоянное значение для любых выпуклых многоугольников независимо от количества их сторон.

Основная теорема о сумме внешних углов

Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусам.

Доказательство теоремы

Рассмотрим выпуклый n-угольник. В каждой вершине:

• Внутренний угол + Внешний угол = 180° (как смежные углы)
• Сумма всех внутренних углов равна (n-2)×180°
• Общая сумма всех внутренних и внешних углов будет n×180°
• Вычитая сумму внутренних углов, получаем сумму внешних углов: n×180° - (n-2)×180° = 360°

Примеры расчета

Пример 1: Правильный шестиугольник

• Каждый внутренний угол = 120°
• Каждый внешний угол = 180° - 120° = 60°
• Сумма внешних углов = 6 × 60° = 360°

Пример 2: Прямоугольник

• Каждый внутренний угол = 90°
• Каждый внешний угол = 180° - 90° = 90°
• Сумма внешних углов = 4 × 90° = 360°

Особые случаи

Невпуклые многоугольники

Для невыпуклых многоугольников сумма внешних углов также равна 360°, если учитывать знаки углов (положительные для поворотов против часовой стрелки и отрицательные - по часовой).

Многоугольники с отверстиями

Для многоугольников с отверстиями сумма внешних углов может отличаться от 360° и зависит от конкретной конфигурации фигуры.

Заключение

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360 градусам, независимо от количества его сторон. Это фундаментальное свойство широко используется в геометрии и инженерных расчетах.